Как построить однополосный гиперболоид

Поверхности второго порядка

Как построить однополосный гиперболоид

  1. Поверхности вращения.

    Начать изучение

  2. Конус второго порядка.

    Начать изучение

  3. Однополостный гиперболоид.

    Начать изучение

  4. Двуполостный гиперболоид.

    Начать изучение

  5. Эллиптический параболоид.

    Начать изучение

  6. Гиперболический параболоид.

    Начать изучение

Определение.

Поверхность \(S\) называется поверхностью вращения с осью \(d\), если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой \(d\) и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.

Рассмотрим линию \(L\), которая лежит в плоскости \(P\), проходящей через ось вращения \(d\) (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вся линия — поверхность вращения.

Рис. 10.1. Поверхность вращения.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) на оси \(d\), вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\) направим вдоль \(d\), а вектор \(\boldsymbol{e}_{1}\) поместим в плоскости \(P\). Таким образом, \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{3}\) — декартова система координат в плоскости \(P\). Пусть линия \(L\) имеет в этой системе координат уравнение \(f(x, y)=0\).

Рассмотрим точку \(M(x, y, z)\). Через нее проходит окружность, которая имеет центр на оси \(d\) и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от \(M\) до оси, то есть \(\sqrt{x{2}+y{2}}\). Точка \(M\) лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка Мь принадлежащая вращаемой линии \(L\).

Точка \(M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) лежит в плоскости \(P\), и потому \(y_{1}=0\). Кроме того, \(z_{1}=z\) и \(|x|=\sqrt{x{2}+y{2}}\), так как \(M_{1}\) лежит на той же окружности, что и \(M\).

Координаты точки \(M_{1}\) удовлетворяют уравнению линии \(L\): \(f(x_{1}, z_{1})=0\).

Подставляя в это уравнение \(x_{1}\) и \(z_{1}\), мы получаем условие на координаты точки \(M\), необходимое и достаточное для того, чтобы \(M\) лежала на поверхности вращения \(S\): равенство$$f\left(\pm \sqrt{x{2}+y{2}}, z\right)=0\label{ref1}$$должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде$$f\left(\sqrt{x{2}+y{2}}, z\right)f\left(-\sqrt{x{2}+y{2}}, z\right)=0,\label{ref2}$$

и является уравнением поверхности вращения линии \(L\) вокруг оси \(d\).

Эллипсоид

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\) сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:$$\frac{x{2}}{a{2}}+\frac{z{2}}{c{2}}=1,\ \frac{z{2}}{a{2}}+\frac{x{2}}{c{2}}=1.

onumber$$(Здесь через \(c\) обозначена малая полуось эллипса.) В силу формулы \eqref{ref1} уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут$$\frac{x{2}+y{2}}{a{2}}+\frac{z{2}}{c{2}}=1,\ \frac{z{2}}{a{2}}+\frac{x{2}+y{2}}{c{2}}=1\ (a > c).

\label{ref3}$$

Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллипсоиды вращения.

Каждую точку \(M(x, y, z)\) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости \(y=0\) так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении \(\lambda < 1\). После сдвига точка попадет в положение \(M'(x’, y’, z’)\), где \(x’=x\), \(y’=y\), \(z’=z\).

Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением$$\frac{x’{2}}{a{2}}+\frac{y’{2}}{b{2}}+\frac{z’{2}}{c{2}}=1,\label{ref4}$$

где \(b=\lambda a\).

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение \eqref{ref4}, называется эллипсоидом (рис. 10.3).

Если случайно окажется, что \(b=c\), мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый.

Рис. 10.3. Эллипсоид.

Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения \eqref{ref4} видно, что начало канонической системы координат — центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости — его плоскости симметрии.

Эллипсоид можно получить из сферы \(x{2}+y{2}+z{2}=a{2}\) сжатиями к плоскостям \(y=0\) и \(z=0\) в отношениях \(\lambda=b/a\) и \(\mu=c/a\).

В этой статье нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно.

Конус второго порядка

Рассмотрим на плоскости \(P\) пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{3}\) уравнением \(a{2}x{2}-c{2}z{2}=0\).

Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение$$a{2}(x{2}+y{2})-c{2}z{2}=0\label{ref5}$$

и носит название прямого кругового конуса (рис. 10.4).

Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением

$$a{2}x{2}+b{2}y{2}-c{2}z{2}=0\label{ref6}$$

называемую конусом второго порядка.

Обратите внимание на то, что левая часть уравнения \eqref{ref6} — однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного ранее.

Рис. 10.4. Прямой круговой конус.

Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид вращения — это поверхность вращения гиперболы$$\frac{x{2}}{a{2}}-\frac{z{2}}{c{2}}=1onumber$$вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле \eqref{ref1} мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 10.5)$$\frac{x{2}+y{2}}{a{2}}-\frac{z{2}}{c{2}}=1.\label{ref7}

$$

Рис. 10.5. Однополостный гиперболоид вращения.

В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости \(y=0\) мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением$$\frac{x{2}}{a{2}}+\frac{y{2}}{b{2}}-\frac{z{2}}{c{2}}=1.\label{ref8}

$$

Интересное свойство однополостного гиперболоида — наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, уравнения которых можно получить следующим образом.

Уравнение \eqref{ref8} можно переписать в виде$$\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\left(1+\frac{y}{b}\right)\left(1-\frac{y}{b}\right).onumber

$$

Рассмотрим прямую линию с уравнениями$$\begin{array}{cc}& \displaystyle\mu\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda\left(1+\frac{y}{b}\right),\\& \\& \displaystyle\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu\left(1-\frac{y}{b}\right),\end{array}\label{ref9}$$

где \(\lambda\) и \(\mu\) — некоторые числа \((\lambda{2}+\mu{2} eq 0)\).

Координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, а следовательно, и уравнению \eqref{ref8}, которое получается их почленным перемножением. Поэтому каковы бы ни были \(\lambda\) и \(\mu\), прямая с уравнениями \eqref{ref9} лежит на однополостном гиперболоиде.

Таким образом, система \eqref{ref9} определяет семейство прямолинейных образующих.

Второе семейство прямолинейных образующих определяется системой$$\begin{array}{cc}& \mu’\left(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}\right)=\lambda’\left(1-\frac{y}{b}\right),\\& \\& \lambda’\left(\frac{x}{a}-\frac{z}{c}\right)=\mu’\left(1+\frac{y}{b}\right),\end{array}\label{ref10}

$$

Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность \(x{2}+y{2}-z{2}=0\) и точку \(M_{0}(1, 1, 1)\) на ней.

Подставляя координаты \(M_{0}\) в уравнения \eqref{ref9}, мы получаем условия на \(\lambda\) и \(\mu\): \(2\lambda=2\mu\) и \(0 \cdot \lambda=0 \cdot \mu\). Первое из них определяет \(\lambda\) и \(\mu\) с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны.

Подставляя эти значения в \eqref{ref9}, получаем уравнения прямолинейной образующей$$x+z=1+y,\ x-z=1-y.onumber

$$

Она проходит через \(M_{0}\), так как \(\lambda\) и \(\mu\) так и выбирались, чтобы координаты \(M_{0}\) удовлетворяли этой системе. Аналогично, подставляя координаты \(M_{0}\) в (10), находим условия на \(\lambda’\) и \(\mu’\): \(2\mu’=0\) и \(2\mu’=0\). Коэффициент \(\lambda’\) можно взять любым ненулевым, и мы приходим к уравнению второй образующей: \(x=z\), \(y=1\).

Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид вращения — это поверхность, получаемая вращением гиперболы$$\frac{z{2}}{c{2}}-\frac{x{2}}{a{2}}=1onumber$$вокруг той оси, которая ее пересекает.

По формуле \eqref{ref1} мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения$$\frac{z{2}}{c{2}}-\frac{x{2}+y{2}}{a{2}}=1.

\label{ref11}$$В результате сжатия этой поверхности к плоскости у=0 получается поверхность с уравнением$$\frac{z{2}}{c{2}}-\frac{x{2}}{a{2}}-\frac{y{2}}{b{2}}=1.\label{ref12}

$$

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида \eqref{ref12}, называется двуполостным гиперболоидом (рис. 10.6).

Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две не связанные между собой части (“полости”) поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывала всю поверхность.

Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

Рис. 10.6. Двуполостный гиперболоид вращения.

Эллиптический параболоид

Вращая параболу \(x{2}=2pz\) вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением$$x{2}+y{2}=2pz.\label{ref13}$$

Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду

$$\frac{x{2}}{a{2}}+\frac{y{2}}{b{2}}=2z.\label{ref14}

$$

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид

По аналогии с уравнением \eqref{ref14} мы можем написать уравнение$$\frac{x{2}}{a{2}}-\frac{y{2}}{b{2}}=2z.\label{ref15}

$$

Поверхность, которая имеет уравнение вида \eqref{ref15} в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом.

Исследуем форму этой поверхности. Для этого рассмотрим ее сечение плоскостью \(x=\alpha\) при произвольном \(\alpha\). В этой плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат \(O’, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) с началом в точке \(O'(\alpha, 0, 0)\).

Относительно этой системы координат линия пересечения имеет уравнение$$-\frac{y{2}}{b{2}}=2\left(z-\frac{\alpha{2}}{2a{2}}\right).\label{ref16}$$

Эта линия — парабола, в чем легко убедиться, перенеся начало координат в точку \(O″\) с координатами \((0, \alpha{2}/(2a{2}))\).

(Координаты этой точки относительно исходной системы координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\) в пространстве равны \((\alpha, 0, \alpha{2}/(2a{2}))\).)

Точка \(O″\), очевидно, является вершиной параболы, ось параболы параллельна вектору \(\boldsymbol{e}_{3}\), а знак минус в левой части равенства \eqref{ref16} означает, что ветви параболы направлены в сторону, противоположную направлению \(\boldsymbol{e}_{3}\). Заметим, что после переноса начала координат в точку \(O″\) величина а не входит в уравнение параболы, и, следовательно, сечения гиперболического параболоида плоскостями \(x=\alpha\) при всех \(\alpha\) представляют собой равные параболы.

Будем теперь менять величину \(\alpha\) и проследим за перемещением вершины параболы \(O″\) в зависимости от \(\alpha\).

Из приведенных выше координат точки \(O″\) следует, что эта точка перемещается по линии с уравнениями$$z=\frac{x{2}}{2a{2}},\ y=0onumber$$

в системе координат \(O, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\). Эта линия — парабола в плоскости \(y=0\).

Вершина параболы находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью аппликат, а ветви параболы направлены в ту же сторону, что и вектор \(\boldsymbol{e}_{3}\).

Теперь мы можем построить гиперболический параболоид следующим образом: зададим две параболы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны.

При таком перемещении подвижная парабола описывает гиперболический параболоид (рис. 10.8).

Рис. 10.8. Гиперболический параболоид. \(OB\) — неподвижная парабола, \(KLM,\ NOP,\ QRS\) — положения подвижной параболы.

Сечения гиперболического параболоида плоскостями с уравнениями \(z=\alpha\) при всевозможных \(\alpha\) — гиперболы. Эти сечения нарисованы на рис. 10.9.

Рис. 10.9. Сечения гиперболического параболоида

Гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 10.10).

Уравнения одного семейства —$$\lambda\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=\mu,\ \mu\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=2\lambda z,onumber$$а другого —$$\lambda’\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=\mu’,\ \mu’\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=2\lambda’ z,onumber

$$

Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.

Рис. 10.10. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида

Источник: https://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/second_order_surfaces/

Лабораторная работа №2 по теме «Построение поверхностей второго порядка»

Как построить однополосный гиперболоид

Цельработы:закрепить полученные знания привыполнении лабораторной работы №1.Научитсяиспользовать абсолютные ссылки, строитьПоверхности второго порядка в пространстве.

Поверхности второго порядка в пространстве

Общее уравнениеповерхностей второго порядка имеет видуравнения второй степени:

Ах2+ Ву2+ Сz2+ 2Dxy+ 2Eyz+ 2Fzx+ 2Gx+ 2Hy+2Kz+ L= 0. (5)

Причемкоэффициенты A,B,C,D,E,Fне могут быть равны нулю одновременно.

Частнымислучаями уравнения (5) являются основныеповерхности второго порядка: эллипсоид,гиперболоид и параболоид.

Гиперболоид

Существуетдва вида гиперболоидов: однополостныеи двухполостные.

Однополостнымгиперболоидомназывается поверхность, которая внекоторой системе декартовых прямоугольныхкоординат определяется уравнением

. (6)

Однополостнымгиперболоид имеет вид бесконечнойтрубки, расширяющейся в обе стороны отгорловины.

Двухполостнымгиперболоидомназывается поверхность, определяемаяуравнением

. (7)

Двухполостньйгиперболоид представляет собойповерхность, состоящую из двух отдельныхполостей, каждая из которых имеет видбесконечной выпуклой чаши.

Уравнения (6) и (7)называются каноническими уравнениямигиперболоидов.

Дляпостроения гиперболоида в Ехсеlканонические уравнения (6) или (7) необходиморазрешить относительно переменной z(представить в виде ).

Пример2.Построить верхнюю часть двухполостногогиперболоида , лежащую в диапазонах: х[-5;5], y[-3;3] с шагом h=0.5для обеих переменных.

Решение

Этап1.Математическая часть.Из уравнениянеобходимо выразить переменную z:,т.к. в задании необходимо построитьтолько верхнюю часть гиперболоида, томы оставляем только положительныйкорень: .

Этап2.Ввод данных.

Введемзначения переменной xв столбец A.Для этого в ячейку A2вводим первое значение аргумента –левая граница диапазона (-5). В ячейку A3— второе значение аргумента – леваяграница диапазона плюс шаг (-4,5). Выделяемблок ячеек A2:A3,автозаполнением получаем все значенияаргумента.

Значенияпеременной увводим в строку 1. Для этого в ячейку В1вводится первое значение переменной —левая граница диапазона (-3). В ячейку С1— второе значение переменной — леваяграница диапазона плюс шаг построения(-2,5). Затем, выделив блок ячеек В1:С1,автозаполнением получаем все значенияаргумента.

Далеевводим значения переменной z.Для этого табличный курсор необходимопоместить в ячейку В2 и на панелиинструментов Стандартная нажать кнопкуВставкафункции(fx).В появившемся диалоговом окнеМастер функций (шаг 1 из 2)в полеКатегорияМатематические.

В поле Функциявыбираем функцию Корень.Нажимаем кнопку ОК.Появляется диалоговое окно Корень.В рабочее поле вводим подкоренноевыражение: 1+ $А22/16B$12/9.Нажимаем кнопку ОК.В ячейке В2 появляется 1.8875.

Теперь необходимо установить курсорна ячейке B2,курсором мышки нажать в поле Редакторформул иумножить формулу на 5.Нажать Enter.Курсор останется на ячейке В2: в полеввода появится формула=5*Корень(1+ $А22/16B$12/9);в ячейке В2 – значение 9,4373.

Автозаполнением копируем эту формулувниз в диапазон В2:В22. Затем автозаполнениемпротягиванием вправо копируем этуформулу вначале в диапазон В2:N22(рис.6).

Рис.6

Этап3. Выбор типа диаграммы.

Дляпостроения диаграммы на панелиинструментов Стандартная необходимонажать кнопку Мастер диаграмм.В появившемся диалоговом окнеМастер диаграмм (шаг 1 из 4):Тип диаграммывыберем ТипПоверхность,ВидПроволочная(прозрачная) поверхность.После чего нажать кнопку Далеев диалоговом окне.

Этап4. Указание диапазона.

Впоявившемся диалоговом окнеМастер диаграмм (шаг 2 из 4):Источникданных диаграммынеобходимо выбрать вкладку Диапазонданных и вполе Диапазонмышью указать интервал данных В2:N22.

Далеенеобходимо указать в строках или столбцахрасположены ряды данных. Это определиториентацию осей хи у.В примере переключатель Ряды вс помощью указателя мыши установимв положение столбцах.

Этап5. Ввод подписей по оси X.

Выбираемвкладку Ряди в поле Подписиоси X указываемдиапазон подписей. Для этого следуетактивизировать данное поле, щелкнув внем указателем мыши, и ввести в негодиапазон подписей оси х— А2:А22.

Вводимзначения подписей оси у.Для этого в рабочем поле Рядвыбираем первую запись Ряд1и в рабочее поле Имя,активизировав его указателем мыши,вводим значение первой переменной уВ1.

Затем в поле Рядвыбираем вторую запись — Ряд2и в рабочее поле Имявводим второе значение переменной уС1. Повторяем таким образом до последнейзаписи — Ряд13.

После появления требуемых записейнеобходимо нажать кнопку Далее.

Рис. 7.Диаграмма верхней части двуполостногогиперболоида

Этап6. Введение заголовков.

Втретьем окне требуется ввести заголовокдиаграммы и названия осей. Для этогонеобходимо выбрать вкладку Заголовки,щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнувв рабочем поле Название диаграммыуказателем мыши, ввести с клавиатуры вполе название: Двуполостныйгиперболоид.

Затем аналогичным образом ввести врабочие поляОсь X (категорий)и Ось Y (рядовданных), ОсьZ(значений)соответствующие названия: осьOX,ось OY,ось OZ.Если внешний вид диаграммы нас устраивает,то необходимо нажать кнопку Далее.

В противном случае нажать кнопку Назади внести необходимые изменения на нужномэтапе.

Этап7. Завершение.

Вчетвертом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4)требуется выбрать место расположениядиаграммы на отдельном листе Диаграмма1или имеющемся Лист1.По умолчанию переключатель будет стоять«имеющемся Лист1».В нашем случае оставляем по умолчанию.Нажимаем кнопку Готово.

На текущем листедолжна появиться следующая диаграмма(рис. 7).

Этап8. Переименование листа.Навести курсор на закладку Лист1,правой клавишей мыши (ПКМ) вызватьконтекстное меню, выбрать пунктПереименовать,удалить старое название листа и склавиатуры набрать новое Дв_гиперболоид,нажать Enter.

Задание6.Построить верхнюю часть однополосногогиперболоида , лежащую в диапазонах: х[-10;10] с шагом h=0.5,y[-5;5] с шагом h=0.25.

Задание7.Построить верхнюю часть двухполостногогиперболоида , лежащую в диапазонах: х[-10;10] с шагом h=0.5,y[-5;5] с шагом h=0.25.

Источник: https://studfile.net/preview/7153927/page:3/

Гиперболоид и Параболоид – Мастерская Романа Королёва

Как построить однополосный гиперболоид

Гиперболоидную форму конструкций ввёл в архитектуру В. Г. Шухов (патент Российской Империи № 1896; от 12 марта 1899 года, заявленный В. Г. Шуховым 11.01.1896).

Первая в мире стальная сетчатая башня в форме гиперболоида вращения была построена Шуховым для крупнейшей дореволюционной Всероссийской промышленной и художественной выставки в Нижнем Новгороде, проходившей с 28 мая (9 июня) по 1 (13) октября 1896 года.

Однополостный гиперболоид вращения первой башни Шухова образован 80 прямыми стальными профилями, концы которых крепятся к кольцевым основаниям.

Сетчатая стальная оболочка из ромбовидно пересекающихся профилей упрочнена 8 параллельными стальными кольцами, расположенными между основаниями.

Высота гиперболоидной оболочки башни — 25,2 метра (без учёта высот фундамента, резервуара и надстройки для обозрения).

Диаметр нижнего кольцевого основания — 10,9 метра, верхнего — 4,2 метра. Максимальный диаметр бака — 6,5 метра, высота — 4,8 метра. От уровня земли из центра основания башни до уровня дна резервуара поднимается красивая стальная винтовая лестница. В центральной части бак имеет цилиндический проход с прямой лестницей, ведущей на смотровую площадку на верхней поверхности резервуара.

Над смотровой площадкой на баке сделана гиперболоидная надстройка с прямой лёгкой лестницей, ведущей на более высокую малую смотровую площадку.

Гиперболоидная надстройка смонтирована из 8 прямых профилей, упирающихся в кольцевые основания, между которыми расположено ещё одно упрочняющее кольцо.

Верхняя площадка в 1896 году имела деревянный настил и ограждение (не сохранились до настоящего времени). Общая высота башни составляет 37 метров. Все стальные элементы конструкции башни соединены заклёпками.

После выставки первая башня Шухова была перенесена в имение мецената Ю. С. Нечаева-Мальцова в село Полибино Данковского района Липецкой области. Башня сохранилась до нашего времени, является памятником архитектуры, охраняется государством. Первая в мире гиперболоидная конструкция страдает от коррозии и нуждается в реставрации.

В начале 20-го века многие боевые корабли, в основном в США, строились с ажурными гиперболоидными мачтами.

Такое решение объясняется необходимостью размещения большого объёма наблюдательных и дальномерных приборов на большой высоте от палубы, меньшей уязвимостью в бою и амортизацией ударов от отдачи собственных, очень мощных, орудий.

Дальнейшей модификацией идеи сетчатых гиперболоидных конструкций стала конструкция радиобашни на Шаболовке в Москве, построенной Шуховым в 1919—1922 гг.

Первоначальный проект высотой 350 м из-за дефицита металла был заменен на 150-метровый вариант, который эксплуатируется и поныне.

В течение своей жизни Шухов построил более двухсот гиперболоидных башен различного назначения.

Гиперболоидные конструкции впоследствии строили многие великие архитекторы: Гауди, Ле Корбюзье, Оскар Нимейер.

Гиперболоидные шуховские башни востребованы и в настоящее время. В 1963 году в порту города Кобе в Японии по проекту компании Nikken Sekkei (недоступная ссылка) была построена 108-метровая гиперболоидная шуховская башня (Kobe Port Tower).

А в 1968 году в Чехии по проекту архитектора Карела Хубачека была построена гиперболидная башня «Йештед» высотой 100 метров. В 2003 году была построена гиперболоидная башня Шухова в Цюрихе.

Авторы башни — архитекторы Даниэль Рот и Александр Ком (Daniel Roth, Alexander Kohm).

Идеи гиперболоидных конструкций башен Шухова известный архитектор Михаил Посохин предложил использовать при проектировании новых небоскрёбов в деловом центре «Москва-Сити».

600-метровая гиперболоидная сетчатая шуховская башня построена в 2010 году в Гуанчжоу в Китае компанией Arup. На 2017 год это вторая по высоте башня в мире.

Параболоид

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

где t и u — действительные числа не равные нулю одновременно.

При этом:

если t и u одного знака, то параболоид называется эллиптическим, частный случай эллиптического параболоида t = u в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения;Далее, если t и u разного знака, то параболоид называется гиперболическим;если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси z) плоскостями произвольного положения — параболы.

Источник: https://metallistika.ru/giperboloid-i-paraboloid/

Очень просто
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: